プランクの法則・Wienの式・レイリーの式の関係を近似で導出！！

物理化学の黒体放射のところで出てくるプランクの法則・Wienの式・レイリーの式の３式の関係を解説していきます！

それぞれの式の形

まず、確認のために、それぞれの式の形を載せておきます。

このようになってますよね。

ちなみに、$\rho$はエネルギー密度、$c$は光の速度、$\nu$は振動数を表しています。

ただし、教科書、参考書によっては、c=\(\nu\\lambda )などの式を使って、これを変形したものを使っていることもあります。

３式の関係

プランクの式・Wienの式・レイリーの式の関係ですが、

Wienの式は高振動数領域でプランクの式と一致し、

レイリーの式は低振動数領域でプランクの式と一致します。

次はなぜそんなことが言えるのかを解説していきます。

プランクの式とWienの式の関係を導出

上にも書きましたが、プランクの式とWienの式は、高振動数領域（短波長領域）で一致すると見なせます。

なぜそう言えるのかですが、

振動数($\nu$)が大きいとき、$\Large{exp\frac{a_2\nu}{T}-1 =exp\frac{a_2\nu}{T}}$と近似できるので、

プランクの式は、

　$\Large{d \rho = \frac{8 \pi a_1 \nu^3} {c^3}\frac{1}{exp(\frac{a_2\nu}{T})-1}d\nu}$

　$\Large{d \rho = \frac{8 \pi a_1 \nu^3} {c^3}\frac{1}{exp(\frac{a_2\nu}{T})}d\nu}$

　$\Large{d \rho = \frac{8 \pi a_1 \nu^3} {c^3}{exp(-\frac{a_2\nu}{T})}d\nu}$

というように、Wienの式に変形できるからです。

以上、

$exp\frac{a_2\nu}{T}-1 \approx exp\frac{a_2\nu}{T}$

を使った近似でした。

プランクの式とレイリーの式の関係を導出

次はレイリーの式です。

こっちは少々難しくて、マクローリン展開を使います。

今回は$e^x$のマクローリン展開をします。上の式より、

$\Large{e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + …}$

そして、xがすごく小さいときは、

$\Large{e^x \approx 1 + x }$

とできます。いわゆる一次近似ですね。

低振動数領域なので、$\nu<< 1$を考えて、一次近似が使えます。

これを使うと、プランクの式は以下のように変形できます。

　$\Large{d \rho = \frac{8 \pi a_1 \nu^3} {c^3}\frac{1}{exp(\frac{a_2\nu}{T})-1}d\nu}$

　$\Large{d \rho = \frac{8 \pi a_1 \nu^3} {c^3}\frac{1}{(1+\frac{a_2\nu}{T})-1}d\nu}$

　$\Large{d \rho = \frac{8 \pi a_1 \nu^3} {c^3}\frac{1}{\frac{a_2\nu}{T}}d\nu}$

　$\Large{d \rho = \frac{8 \pi \nu^3} {c^3}\frac{a_1}{a_2}\frac{1}{\frac{\nu}{T}}d\nu}$

＝$\Large{d \rho = \frac{8 \pi k T \nu^2} {c^3}d\nu }$　$\Large{(k = \frac{a_1}{a_2}})$

これで、一次近似を使って、プランクの式とレイリーの式をつなげることが出来ました！