【量子力学】傾いた箱の中の粒子のエネルギーを摂動論を用いて求める方法

シュレディンガー方程式が厳密に解けない系であるとき、量子力学を適応するための２つある方法のうち、片方が「摂動論」です。（もう一つが変分法）

今回はこの摂動論を実際に使って、傾いた１次元の箱の中の粒子のエネルギーを求めてみます！

問題

底が傾いた１次元の箱の中の粒子のエネルギーを摂動論を用いて計算せよ。

ただし、

\(\Large{V(x) = \frac{V_0 x}{2a} (0 \leqq x \leqq a)}\)

とし、使うのは１次の摂動論だとする。

解答

知ってないといけないこと

傾きのない１次元の箱（０≦ｘ≦ａ）のなかの粒子の波動関数とエネルギー

\(\Large{\psi_0 = \sqrt{\frac{2}{a}} sin\frac{n\pi x}{a}}\)

\(\Large{E_n ^(0) = \frac{n^2 h^2}{8ma^2} n = 1, 2, 3, …}\)

これらを使って、傾いた箱の中の粒子のエネルギーを求めていきます！

実際の求め方

摂動がない場合として、平らな箱の中の粒子を考える

そのとき、摂動項は、

\(\Large{H^{(1)} = \frac{V_0}{a} x (0 \leqq x \leqq a) } \)

平らな箱の中の粒子の場合、波動関数とエネルギーは、

\(\Large{\psi_0 = \sqrt{\frac{2}{a}} sin\frac{n\pi x}{a}}\)

\(\Large{E_n ^{(0)} = \frac{n^2 h^2}{8ma^2} n = 1, 2, 3, …}\)

で表されるため、

摂動による\(\Large{E^{(0)}}\)への１次の補正(\(\Large{E^{(1)}}\))は、

\(\Large{E^{(1)} = \displaystyle \int_{0}^{a}\psi ^{(0)*} (\frac{V_0}{a}x) \psi^{(0)}dx}\)

\(\Large{= \frac{2V_0}{a^2} \displaystyle \int_{0}^{a} x sin^2 \frac{n \pi x}{a}dx }\)

\(\Large{= … = \frac{V_0}{2}}\)

したがって、

\(\Large{ E = E^{(0)} + E^{(1)} = \frac{n^2 h^2}{8 m a^2} + \frac{V_0}{2}}\)

これで傾いた箱の中の粒子のエネルギーが求まりました！